Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens | Trigonometrische Funktionen | Einfach erklärt
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ᐅ Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens | Trigonometrische Funktionen | Einfach erklärt

Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens | Trigonometrische Funktionen | Einfach erklärt

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Wie du wahrscheinlich weißt, gibt es vier verschiedene Trigonometrische Funktionen.

  1. Sinus
  2. Cosinus
  3. Tangens
  4. Cotangens

Bevor wir uns nun die Funktionen genauer anschauen, brauchen wir Vorwissen:

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius r=1.

Stellen wir uns vor wir wollten am Rand dieses Einheitskreises einen Punkt markieren. Wenn wir ihn nun mit dem Mittelpunkt am Ursprung in ein Koordinatensystem zeichnen, ist unsere Markierung am Punkt P ( x | y ).
Die Funktionen werden mit der Hilfe dieses Kreises und des Punktes P gezeichnet. Wir setzen als Beispiel für die Variablen folgende Werte ein: P ( 1 | 0 )

Wenn wir nun die Koordinate y durch ein anderes Wort ersetzen, nämlich Sinus, so haben wir die erste Funktion gelöst. Der Sinus ist bei diesem Punkt 0.
Der Graph vom Sinus fängt bei 0 an. Dann verschiebt man den Punkt P im Einheitskreis mit konstanter Geschwindigkeit in die positive Richtung.

Der Cosinus ist genau das Gegenteil, was bedeutet, dass er in unserem Beispiel gleich 1 ist.
Der Graph vom Cosinus fängt dem zufolge bei 1 an und wird dann immer kleiner und am Ende wieder gleich groß.

Der Punkt P wandert immer am Rand des Einheitskreises entlang. Wenn man von diesem Punkt aus ein rechtwinliges Dreieck bis in den Mittelpunkt zeichnet, hat das Dreieck den Wert 1 als Hypothenuse (Radius des Kreises), x auf der x-Achse und y auf der y-Achse.
Wie wir gelernt haben, sind x und y Cosinus und Sinus.

Der Tangens ist nicht die Hypotenuse, sondern er ist der y-Wert, der herauskommt, wenn die Verlängerung der Hypotenuse, die bis zum Wert 1 auf der x-Achse reicht, erreicht wird. Das heißt man könnte sich wieder ein gewisses rechtwinkliges Dreieck vorstellen, bei dem die Hypotenuse eine Verlängerung erhält, um bis zum x-Wert 1 zu gelangen, da dieser in diesem Dreieck immer 1 bleiben wird und dem Tangens, welcher den y-Wert darstellt.
Im Graphen von Tangens gibt es einen undefinierten Bereich an den Stellen x=0,2,4,6,8....
Dies kommt dadurch zustande, da wenn der Winkel Alpha=90° ist die Hypotenuse in einem rechtwinkligem Dreieck nicht mehr die Gegenkathete von Alpha berührt und somit auch kein Dreick mehr darstellt.

Der Cotangens ist das Gegenstück zum Tangens. Der Graph ist der gespiegelte Tangens-Graph.

 

Zur Berechnung der Funktionen kann man sich eine Hilfe holen: Die Gaga-Hühnerhof-AG.

Man braucht sich die Buchstaben wie folgt aufzuschreiben und man hat Formeln für Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens immer parat (Die genannte Reihenfolge ist wichtig; die Formeln sind in der selben Reihenfolge).

 G  A  G  A
------------
 H  H  A  G

  1. Sinus(Alpha) = Gegenkathete / Hypotenuse
  2. Cosinus(Alpha) = Ankathete / Hypotenuse
  3. Tangens(Alpha) = Gegenkathete / Ankathete
  4. Cotangens(Alpha) = Ankathete / Gegenkathete

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