Zahlensysteme | Allgemein
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Zahlensysteme | Allgemein

Sicherlich hast du schon mal Begriffe wie binär, hexadezimal oder dezimal gehört. Zumindest bei Letzterem gehe ich stark davon aus, dass du auch weißt was gemeint ist. Diese Begriffe beschreiben allesamt gängige Zahlensysteme, welche besonders in der Informatik und natürlich auch in der Mathematik Verwendung finden.


Was musst du wissen?

Ich setze voraus, dass jeder, der diesen Artikel ließt bereits grundlegende Rechenoperationen wie Addition, Multiplikation und - besonders wichtig - Potenzen versteht und andwenden kann. Ansonsten sollte hier alles verständlich genug geschildert werden.

 

Die Basis: wonach definieren sich verschiedene Zahlensysteme

Wie bereits erwähnt handelt es sich bei den oben genannten Begriffen um Bezeichnungen für Zahlensysteme. Hierbei wird immer die sogenannte Basis des Zahlensystems im Namen verbaut. Was aber ist diese Basis? Dies lässt sich am einfachstem am Beispiel des wohl bekanntesten Zahlensystems erklären: dem Dezimalsystem, welches wir im Alltag verwenden.

Dezimal bedeutet, dass wir zur Basis 10 rechnen. Zahlen werden also durch Potenzen der Zahl 10 gebildet. Deshalb benennen wir die Stellen unserer Zahlen auch mit Einer, Zehner, Hunderter und so weiter... Bei Einern handelt es sich um die Potenz 100 also 1. Zehner sind 101, Hunderter 102 und so geht es immer weiter. Diese Stellen des Zahlensystems werden nun mit Zahlen, die größer oder gleich 0 und kleiner als die jeweilige Basis des Zahlensystems sind, multipliziert. Hiernach definieren sich die uns bekannten Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9, welche wir mit Zehnerpotenzen multiplizieren um Zahlen zu bilden. Ein paar Beispiele:

gebildete Zahl 103 (1000) 102 (100) 101 (10) 100 (1)
12 0 0 1 2
137 0 1 3 7
1044 1 0 4 4
6395 6 3 9

5

Um nun die fertige Zahl zu bilden, werden die multiplizierten Potenzen einfach addiert.

6395 = 6 * 103 + 3 * 102 + 9 * 101 + 5 * 100

 

Verschiedene Zahlensysteme

Dieses Prinzip lässt sich nun auf jedes andere Zahlensystem übertragen. Bekannt sind unter anderem das Hexadezimalsystem mit der Basis 16 und das Binärsystem mit der Basis 2. Man Spricht auch von Zahlen zur Basis 2 bzw. 16. Sie werden - genauso wie Dezimalzahlen - durch Addition mit nichtnegativen Zahlen, die kleiner als die Basis sind, multiplizierter Potenzen gebildet. Überschreitet die Anzahl der Ziffen nun 10 werden neben den uns bekannten Ziffern von 0 bis 9 zusätzlich Buchstaben genutzt. Im Fall des Hexadezimalsystems haben wir nun also die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F (16 Ziffern). So entstehen Zahlen wie 3A8F73 (3 837 811), welche du sicher schon einmal im Zusammenhang mit Computern gesehen hast. Binärzahlen kennen nur die Ziffern 0 und 1. Es handelt sich um die ebenfalls durch Computer bekannten Zahlen wie z.B. 10011011 (155).

Beim Hexadezimalsystem rechnen wir mit Potenzen der Zahl 16: 3 837 811 = 3 * 165 + 10 * 164 + 8 * 163 + 15 * 162 + 7 * 161 + 3 * 160

Beim Binärsystem sind es Potenzen von 2: 155 = 1 * 27 + 0 * 26 + 0 * 25 + 1 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20

 

Somit lassen sich Zahlen verschiedener Systeme auch leicht in Dezimalzahlen umrechnen. Um klar zu stellen in welchem Zahlensystem eine Zahl angegebene wird, wird die Basis oft unten rechts neben die Zahl geschrieben. 3 837 81110 = 3A8F7316 und 100110112 = 15510.

Um noch einmal eine allgemeine Form der Bildungsvorschrift von Zahlen zu geben hier eine kleine Darstellung:

Zahl zur Basis a a0 a1 a2 a3 a4
irgendeine Zahl pqrsta 0 <= p < a 0 <= q < a 0 <= r < a 0 <= s < a 0 <= t < a

 

Fazit:

Nun weißt du hoffentlich wie Zahlensysteme gebildet und definiert werden. Du solltest am besten ein wenig rumprobieren um ein Gefühl für die verschiedenen Systeme zu kriegen. Dazu hier ein paar Umrechnungsaufgaben:

  • 100110= x10
  • 3510 = x16
  • 3A16 = x10
  • 1010102 = x16 (Tipp: erst in Dezimalzahl und dann in Hexadezimalzahl umrechnen)

 

Ich hoffe ich konnte dir helfen. Weitere Artikel zum Thema Zahlensysteme werden folgen und ich werde unter anderem Vor- und Nachteile verschiedener Systeme und deren dadurch bestimmte Verwendung sowie kleine Tricks zum Umrechnen zwischen verschiedenen Systemen geben. Auf Binärzahlen werde ich noch einmal genauer eingehen und erklären wie man mit ihnen rechnet, sodass man dieses Wissen auch auf andere Systeme übertragen kann.

Schau dir also am besten gleich noch ein paar andere Artikel von mir an wenn dich das Thema Zahlensysteme interessiert.

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